Gottfried Leibniz demuestra el cálculo integral por primera vez para encontrar el área bajo la gráfica de y = ƒ(x).
En matemáticas, una integral asigna números a funciones de una manera que describe el desplazamiento, el área, el volumen y otros conceptos que surgen al combinar datos infinitesimales. El proceso de encontrar integrales se llama integración. Junto con la diferenciación, la integración es una operación fundamental y esencial del cálculo y sirve como herramienta para resolver problemas matemáticos y físicos que involucran el área de una forma arbitraria, la longitud de una curva y el volumen de un sólido, entre otros.
Las integrales enumeradas aquí son las denominadas integrales definidas, que pueden interpretarse como el área con signo de la región en el plano que está delimitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos en la línea real. Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también se refieren al concepto de antiderivada, una función cuya derivada es la función dada. En este caso, se llaman integrales indefinidas. El teorema fundamental del cálculo relaciona las integrales definidas con la diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su antiderivada.
Aunque los métodos para calcular áreas y volúmenes datan de las matemáticas griegas antiguas, los principios de integración fueron formulados de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a fines del siglo XVII, quienes pensaron en el área bajo una curva como una suma infinita de rectángulos de ancho infinitesimal. . Bernhard Riemann más tarde dio una definición rigurosa de integrales, que se basa en un procedimiento de limitación que aproxima el área de una región curvilínea dividiendo la región en losas verticales infinitesimalmente delgadas. A principios del siglo XX, Henri Lebesgue generalizó la formulación de Riemann al introducir lo que ahora se conoce como integral de Lebesgue; es más robusto que el de Riemann en el sentido de que una clase más amplia de funciones son integrables con Lebesgue.
Las integrales pueden generalizarse según el tipo de función y el dominio sobre el que se realiza la integración. Por ejemplo, una integral de línea se define para funciones de dos o más variables, y el intervalo de integración se reemplaza por una curva que conecta los dos extremos del intervalo. En una integral de superficie, la curva se reemplaza por una parte de una superficie en un espacio tridimensional.
Gottfried Wilhelm (von) Leibniz (1 de julio de 1646 [ OS 21 de junio] - 14 de noviembre de 1716) fue un erudito alemán activo como matemático, filósofo, científico y diplomático. Es una figura destacada tanto en la historia de la filosofía como en la historia de las matemáticas. Escribió obras sobre filosofía, teología, ética, política, derecho, historia y filología. Leibniz también hizo importantes contribuciones a la física y la tecnología, y anticipó nociones que surgieron mucho más tarde en la teoría de la probabilidad, la biología, la medicina, la geología, la psicología, la lingüística y la informática. Además, contribuyó al campo de la biblioteconomía: mientras se desempeñaba como supervisor de la biblioteca Wolfenbüttel en Alemania, ideó un sistema de catalogación que habría servido como guía para muchas de las bibliotecas más grandes de Europa. Las contribuciones de Leibniz a esta amplia gama de temas se encontraban dispersas en varios diarios eruditos, en decenas de miles de cartas y en manuscritos inéditos. Escribió en varios idiomas, principalmente en latín, francés y alemán, pero también en inglés, italiano y holandés. Como filósofo, fue uno de los máximos representantes del racionalismo y el idealismo del siglo XVII. Como matemático, su mayor logro fue el desarrollo de las ideas principales del cálculo diferencial e integral, independientemente de los desarrollos contemporáneos de Isaac Newton. Los trabajos matemáticos siempre han favorecido la notación de Leibniz como la expresión convencional del cálculo. Sin embargo, fue solo en el siglo XX que la ley de continuidad y la ley trascendental de homogeneidad de Leibniz encontraron una formulación matemática consistente por medio de análisis no estándar. También fue un pionero en el campo de las calculadoras mecánicas. Mientras trabajaba para agregar multiplicaciones y divisiones automáticas a la calculadora de Pascal, fue el primero en describir una calculadora de molinete en 1685 e inventó la rueda de Leibniz, utilizada en el aritmómetro, la primera calculadora mecánica producida en masa. También perfeccionó el sistema numérico binario, que es la base de casi todas las computadoras digitales (electrónicas, de estado sólido, lógica discreta), incluida la arquitectura de Von Neumann, que es el paradigma de diseño estándar, o "arquitectura de la computadora", seguida de la segunda mitad del siglo XX y entrado el XXI. Leibniz ha sido llamado el "fundador de la informática". En filosofía y teología, Leibniz es más conocido por su optimismo, es decir, su conclusión de que nuestro mundo es, en un sentido calificado, el mejor mundo posible que Dios podría haber creado, una visión a veces satirizado por otros pensadores, como Voltaire en su novela satírica Cándido. Leibniz, junto con René Descartes y Baruch Spinoza, fue uno de los tres grandes primeros racionalistas modernos. Su filosofía también asimila elementos de la tradición escolástica, en particular la suposición de que se puede lograr algún conocimiento sustantivo de la realidad razonando a partir de primeros principios o definiciones previas. El trabajo de Leibniz anticipó la lógica moderna y aún influye en la filosofía analítica contemporánea, como el uso adoptado del término "mundo posible" para definir las nociones modales.